Методы решения уравнений


Требуется найти корни нелинейного уравнения 3. На практике часто бывает выгодно уравнение 3. Тогда при задании уравнения в виде 3. В методы решения уравнений с классическим результатом Галуа алгебраическое уравнение 3. Сеточные уравнения вообще не имеют формульных решений. Решение осуществляется в два этапа: Первый этап. Этот этап называется процедурой отделения корней. Порядок скорость методы решения уравнений метода определяется так же, как в. Отделение корней уравнения Для методы решения уравнений действительных корней полезно определять заранее число корней, а также верхнюю и нижнюю границы их расположения. Методы решения уравнений этого используется ряд методы решения уравнений. Алгебраическое уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Приведем полезные теоремы, используемые для более точного установления границ действительных корней алгебраических уравнений. Тогда за верхнюю границу положительных корней уравнения 3. Если алгебраическое уравнение 3. Для отделения корней применяется следующая теорема. Оценим модули корней по теореме 3. По следствию из теоремы 3. Найдем верхнюю границу положительных корней. Найдем нижнюю границу положительных корней. Уточним границы отрицательных корней. Заметим, что данный результат совпадает с полученным ранее. Исследуем структуру корней уравнения. Так как квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов, то по теореме 3. На основе теоремы 3. Оценим модули корней уравнения по теореме 3. Определим число положительных и отрицательных корней. Отделим корни третьим способом. Для этого преобразуем уравнение к равносильному виду 3. Оценим модули корней уравнения по теореме 3. Отделим корни третьим способом. Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. В качестве приближенного значения корня берется середина последнего интервала неопределенности. Алгоритм метода половинного деления 1. Недостатки метода — он не обобщается на системы нелинейных уравнений и не может использоваться для нахождения корней четной кратности. Результаты расчетов приведены в табл. Результаты расчетов поместим в табл. Результаты расчетов приведем в табл. Метод хорд Этот метод при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Тогда по формуле 3. Методика решения задачи 1. Вычислить следующее приближение: 3. Пусть выполнены условия: 1. Геометрическая интерпретация процесса сходимости и расходимости в зависимости от выполнения или невыполнения достаточного условия сходимости методы решения уравнений на рис. Выполняем последовательные действия по формуле 3. Результаты расчетов приведены в табл. Поэтому воспользуемся другим преобразованием. Выполним расчеты по формуле 3. Результаты расчетов приведены в табл. Результаты расчетов занесены в табл. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений Метод Ньютона метод касательных, или метод линеаризации является одним из наиболее популярных численных методов. Он быстро сходится имеет квадратичную сходимость и допускает различные модификации, приспособленные для решения векторных задач и сеточных уравнений. Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Получим расчетную формулу метода Ньютона. Повторяя процесс, находим общую формулу: 3. Поэтому данный метод не служит разновидностью метода простых итераций. Применим методы решения уравнений для вывода формулы 3. Положим, что итерационный процесс имеет вид 3. Пусть выполняются следующие условия: 1. Тогда с помощью метода Ньютона методы решения уравнений. Метод Ньютона характеризуется вторым порядком сходимости вблизи корня и первым порядком — вдали от него. Тогда, полагая, что указанные выше предположения 1—4 теоремы 3. С вычислительной точки зрения это означает, что на каждом приближении количество верных цифр результата удваивается. Наряду с теоремой 3. Достаточные условия сходимости метода Ньютона Теорема 3. Выполнение условий теоремы 3. Метод Ньютона является локально сходящимся, так как он сходится с определенной скоростью к истинному решению при условии, что стартует в достаточной близости от этого решения. Методика решения задачи 1. Зададим начальное приближение из условия 4. Результаты расчетов по формуле 3. Скорость сходимости метода Ньютона выше скорости сходимости метода простых итераций та же точность была достигнута за пять итераций. Результаты расчетов по формуле 3. Процедура отделения корней была выполнена в примере 3. Результаты расчетов по формуле 3. Согласно замечанию к теореме 3. Метод касательных Метод касательных, являясь весьма эффективным средством численного анализа, к сожалению, имеет достаточно жесткие ограничения. Действительно, он не может применяться для сеточных уравнений см. Методы решения уравнений силу этого в ряде случаев могут оказаться методы решения уравнений предпочтительными модификации метода касательных. Рассмотрим три методы решения уравнений них. Методика его применения совпадает с изложенной ранее, но методы решения уравнений формулы 3. Процесс последовательных приближений отражен на рис. Первая итерация совпадает с первой итерацией метода Ньютона. На последующих итерациях соответствующие отрезки параллельны касательной, проведенной в начальной точке. Для этой модификации снимаются некоторые ограничения метода касательных, например условие знакопостоянства производных. Сходимость упрощенного метода Ньютона линейная. Корень уравнения отделен в примере 3. Выполним расчеты по формуле 3. Очевидно, по сравнению с методом Ньютона сходимость замедляется см. Метод Ньютона-Бройдена Этот метод позволяет увеличить скорость сходимости последовательных приближений благодаря использованию формулы 3. Методика применения метода секущих совпадает с описанной ранее, но вместо 3. Метод секущих может применяться и для решения сеточных уравнений. На этом рисунке штриховой линией показана аппроксимационная кривая. Дальнейшие расчеты выполняются методы решения уравнений формуле 3.

Смотрите также:



Коментарии:

  • Решение осуществляется в два этапа: Первый этап. Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи: или Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1, x 2, …, x n могут быть любые другие буквы.